Сколько стоит кафтан? Старинные арифметические задачи


1. На мельнице.

На мельнице имеется три жернова. На первом из них за сутки можно смолоть 60 четвертей зерна, на втором 54 четверти, а на третьем 48 четвертей. Некто хочет смолоть 81 четверть зерна за наименьшее время на этих трёх жерновах.

За какое наименьшее время можно смолоть зерно и сколько для этого на каждый жернов надо зерна насыпать?

Решение. Ясно, что все три жернова должны работать одинаковое время, потому что простой любого из 3-х жерновов увеличивает время помола зерна. Поскольку за сутки все 3 жернова вместе могут смолоть 60+54+48=162 четверти зерна, а надо смолоть 81 четверть, то жернова должны работать 12 часов и за это время на первом жернове надо смолоть 30 четвертей, на втором 27 четвертей, а на третьем 24 четверти зерна.

2. Постройка дома.

Четыре плотника хотят строить дом. Первый плотник один может построить дом за год, второй плотник может построить дом за 2 года, третий плотник может построить дом за 3 года, а четвёртый – за 4 года. Однако строили дом четыре плотника вместе.

За какое время они выстроили дом?

Решение. Возьми число первому плотнику 12, а другому вполы 6, а третьему 1/3-4, а четвёртому 1/4-3. Сочти же все те перечни как 12 да 6 да 4 да 3, станет 25. То стал деловой перечень. Разочти же те 12 годов – первое число на дни; умножи с 365-ю дни, придёт 4380 дней. Дели же те дни на 25, придёт 175 1/5 дни, столько они вместе делали. Станет 25 недель 4 4/5 часа.

3. Мальчики и яблоки.

Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков даёт другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик даёт двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий даёт каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок.

Сколько яблок было вначале у каждого мальчика?

Решение. Так как в конце у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок, а непосредственно перед тем третий дал первому и второму столько, сколько они имели, то перед последней передачей яблок первый и второй мальчики имели по 4 яблока, а третий – 16 яблок. Но тогда перед второй передачей первый мальчик имел 2 яблока, третий 8 яблок, а следовательно, второй мальчик 4+2+8=14 яблок.

Таким образом, сначала у второго мальчика было 7 яблок, у третьего 4 яблока, а у первого 2+7+4=13 яблок.

4. Из Москвы в Вологду.

Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своём совершать во всякий день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему послан второй человек, и приказано ему проходить в день по 45 вёрст.

На какой день второй человек догонит первого?

Решение. Придёт в восьмой день на един ночлег сошлися. А считай сице: выни 40 из 45, останется 5. Дели ж 40 на 5 придёт 8, в столько дней настиг другой юноша прежняго юношу».

5. Два воина.

Один воин вышел из города и проходил по 12 вёрст в день, а другой вышел одновременно и шёл так: в первый день прошёл 1 версту, во второй день 2 версты, в третий день 3 версты, в четвёртый 4 версты, в пятый 5 вёрст и так прибавлял каждый день по одной версте, пока не настиг первого.

Через сколько дней второй воин настигнет первого?

Решение. В первый день второй воин отстанет на 12-1=11 вёрст, во второй ещё на 12-2=10 вёрст, в третий ещё на 12-3=9 вёрст и так далее. На 12-й день отставание составит (11+10+9+…+2+1+0) вёрст.

А затем расстояние между ними начнёт сокращаться. В 13-й день на 13-12=1 версту, в 14-й день ещё на 14-12=2 версты, в 15-й день ещё на 15-12=3 версты и, наконец, в 23-й день на 23-12=11 вёрст. На 23-й день расстояние между ними уменьшится на (1+2+3+…+10+11) вёрст. Это значит, что второй воин по прошествии 23 дней догонит первого.

6. Покупка сукна.

Некто купил 3/4 аршина сукна и заплатил за них 3 алтына. Сколько надо заплатить за 100 аршин такого же сукна?

Решение. Поскольку 3/4 аршина стоят 3 алтына, то 3 аршина стоят 12 алтын и 1 аршин стоит 4 алтына. Следовательно, 100 аршин стоят 400 алтын, что составляет 1200 копеек или 12 рублей. 

7. Сколько стоит кафтан?

Хозяин нанял работника на год и обещал ему дать 12 рублей и кафтан. 

Но тот, проработав только 7 месяцев, захотел уйти. При расчёте он получил кафтан и 5 рублей. Сколько стоит кафтан?

Решение. Работник не доработал у хозяина 5 месяцев и недополучил 7 рублей. Значит, месячная его плата в деньгах составляет 7/5 рубля или 1 рубль и 40 копеек. Плата за 7 месяцев составит 7х7/5=9 4/5 рубля или 9 рублей 80 копеек.

Но работник за это время получил 5 рублей и кафтан. Значит, кафтан стоит 4 рубля 80 копеек.

8. Четыре купца.

Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они соберут 90 рублей, сложившись без второго – 85 рублей, сложившись без третьего – 80 рублей, сложившись без четвёртого – 75 рублей.

Сколько у кого денег?

Решение. Второй, третий и четвёртый купцы, сложив свои деньги вместе, соберут, как сказано в условии, 90 рублей. Если от этой суммы отнять деньги второго купца и добавить деньги первого, то получится по условию 85 рублей. Поэтому у первого купца на 5 рублей меньше, чем у второго. Но точно так же легко увидеть, что у третьего купца на 5 рублей больше, чем у второго. Значит, первый, второй и третий купцы, сложив свои деньги вместе, соберут втрое больше денег, чем имеется у второго купца. В условии сказано, что эта сумма составляет 75 рублей, и мы находим, что у второго купца было 25 рублей, у первого – 20 рублей, у третьего – 30 рублей. Но тогда у четвёртого купца было 35 рублей.

9. Какое число задумано?

Предложите кому-нибудь задумать двузначное число и объявить вам остатки от деления этого числа на 3, 5 и 7. После этого вы говорите, какое число было задумано.

Как отгадать задуманное число?

Решение. Остаток от деления задуманного числа на 3 умножьте на 70, остаток от деления задуманного числа на 5 умножьте на 21, остаток от деления задуманного числа на 7 умножьте на 15. Полученные таким образом три числа сложите и сумму разделите на 105. Частное и будет являться задуманным числом.

10. Одинаковые цифры.

Если умножить число 777 на число 143, то получится шестизначное число, записываемое одними единицами:

777 х 143 = 111111.

Если же число 777 умножить на 429, то получится число 333333, записываемое шестью тройками.

Найдите, на какие числа надо умножить число 777, чтобы получить шестизначные числа, записываемые одними двойками, одними четвёрками, одними пятёрками и т.д.

Решение. Для того чтобы получить шестизначное число, записываемое двойками, надо 777 умножить на 286. Если же мы число 777 умножим соответственно на числа 572, 715, 858, 1001, 1144, 1287, то получим числа, записываемые одними четвёрками, пятёрками, шестёрками, семёрками, восьмёрками и девятками. Это видно из следующего.

Поскольку 777х143=111111 и 143х2=286, 143х3=429, …, 143х9=1287,

то, например,

777х858=777х143х6=111111х6=666666,

777х1001=777х143х7=111111х7=777777.

11. Какова цена сукна?

Некто купил 64 рулона сукна. Из них 20 рулонов белого сукна, 13 рулонов чёрного, 5 красного, 19 зелёного, 7 лазоревого и уплатил за них 486 рублей. Цена же их была неравная: за чёрный рулон он платил на четыре рубля больше, чем за белый, за красный – на три рубля меньше, чем за чёрный, за зелёный на два рубля меньше, чем за красный, а за лазоревый на один рубль больше, чем за зелёный.

Сколько денег он платил за каждый рулон?

Решение. Легко видеть, что самое дешёвое сукно – зелёное: лазоревое стоит дороже его на 1 рубль, красное – на 2 рубля, чёрное – на 5 рублей, белое – на 1 рубль. Если бы за каждый вид сукна было уплачено столько же, сколько за зелёное, то при этом было бы уплачено меньше на 20х1+13х5+5х2+7х1=102 рубля. Вся покупка стоила бы 486-102=384 рубля. А так как куплено 64 рулона сукна, то рулон зелёного сукна 384:64=6 рублей. Зная это легко находим стоимость остальных рулонов.

Итого, за каждый рулон белого сукна было уплачено по 7 рублей, чёрного – по 11 рублей, красного – по 8 рублей, зелёного – по 6 рублей, лазоревого – по 7 рублей. 

Фото - Галины Бусаровой