Но фрак вполтретья дороже жилета. Математические задачи XVIII века


1. Смекалистый слуга.

Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: «Это – правда, я украл всё, что он имел». Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: «Если к украденной мною сумме прибавить ещё 10 рублей, то получится моё годовое жалованье, а если к сумме его денег прибавить 20 рублей, получится вдвое больше моего жалованья».

Сколько денег имел постоялец и сколько рублей в год получал слуга?

Решение. Из условия задачи следует, что удвоенное жалованье слуги на 10 рублей превышает его же жалованье. Значит, годовое жалованье слуги составляет 10 рублей, а постоялец, заявивший, что его обокрали, вообще не имел денег.

2. «Богатство».

У приезжего молодца оценили «богатство»: модный жилет с поношенным фраком в три алтына без полушки, но фрак вполтретья дороже жилета. Спрашивается каждой вещи цена.

Решение. Три алтына без полушки составляют 35 полушек и такова стоимость фрака вместе с жилетом. Фрак по условию в 2½ раза дороже жилета, поэтому жилет в 3½ раза дешевле, чем фрак и жилет вместе. Так что жилет стоит 35:3½=10 полушек или 2½ копейки, а фрак стоит 10х2½=25 полушек или 6¼ копейки.  

3. Задача о шляпах.

Предположим, что n мужчин оставили свои n шляп в гардеробе. Затем шляпы были перепутаны и возвращены собравшимся в произвольном порядке. Чему равна вероятность того, что ни один мужчина не получит своей шляпы?

Решение. Каждому мужчине, пришедшему на собрание, присвоим номер от 1 до n и такой же номер присвоим его шляпе. Предположим, что k-й мужчина, уходя, получил шляпу с номером ak, k=1, 2, …, n.

Поставим в первом столбце шахматной доски ладью на клетку, имеющую номер a1 при нумерации снизу вверх, во втором столбце поставим ладью на клетку с номером а2 и т. д. Так как все числа а1, а2, …, аn различны (каждая шляпа досталась только одному мужчине), то ни на одной горизонтали не будет стоять двух ладей. Верно и обратное, каждой расстановке не угрожающих друг другу n ладей на доске размером nxn клеток соответствует некоторое распределение шляп между мужчинами. Значит, общее число распределений шляп между мужчинами равно Pn=n!

То, что каждый мужчина получил чужую шляпу, означает, что а1≠1, а2≠2, …, аnn. Но эти же неравенства означают, что ни одна из ладей, помещённых на доску в соответствии с указанным выше правилом, не стоит на главной диагонали. Поэтому количество распределений шляп между мужчинами, при которых каждый мужчина получает чужую шляпу, равна Qn, а искомая вероятность равна Qn/Pn.

Пользуясь соотношением Эйлера, находим

Qn-nQn-1=(n-1)(Qn-1+Qn-2)-nQn-1=-(Qn-1-(n-1)Qn-2).

Продолжая выполнять эти преобразования, получим

Qn-nQn-1=-(Qn-1-(n-1)Qn-2)=(-1)2(Qn-2-(n-2)Qn-3)= … =

(-1)n-3(Q3-3Q2)=(-1)n.

Итак,

Qn/Pn=Qn/n!=Qn-1/(n-1)!+(-1)n/n!=Qn-2/(n-2)!+(-1)n-1/(n-1)!+(-1)n/n!=…

Q2/2!+(-1)3/3!+ … +(-1)n-1/(n-1)!+(-1)n/n!=1/2!-1/3!+1/4!- … +(-1)n/n!.

Интересно, что с ростом n это число приближается к некоторой постоянной, равной

e-1≈0,36787944117144232160,

где е≈2,71828182845904523536 – постоянная, играющая столь же важную роль в математике, как и число π.

4. Пирамида из ядер.

У пушки сложены приготовленные для стрельбы ядра.

Ядра, образующие первый слой, составляют правильный треугольник, на стороне которого лежит n ядер. Ядра второго слоя положены в выемки, образованные ядрами первого слоя.

Точно так же образуются третий, четвёртый и последующие слои. Последний слой состоит из одного ядра. Таким образом, ядра сложены в виде треугольной пирамиды.

Сосчитайте количество ядер в этой пирамиде.

Решение. Количество ядер, лежащих в первом слое, равно треугольному числу с номером n, во втором слое – равно треугольному числу с номером (n-1) и т. д. В последнем слое с номером n лежит одно ядро, и первое треугольное число также равно 1. Значит, количество ядер в пирамиде равно сумме первых n треугольных чисел, т. е. сумме чисел вида

(k2+k)/2, k=1, 2, …, n.

Для того чтобы найти эту сумму, воспользуемся тождеством

(k2+k)/2=(k3+3k2+2k)/6-((k-1)3+3(k-1)2+2(k-1))/6.

(n2+n)/2=(n3+3n2+2n)/6-((n-1)3+3(n-1)2+2(n-1))/6.

Подставляя в него последовательно k=1, 2, 3, …, n, получим равенства

1=1-0

3=4-1

6=10-4

10=20-10…

(n2+n)/2=(n3+3n2+2n)/6-((n-1)3+3(n-1)2+2(n-1))/6.

Сложим теперь почленно левые и правые части написанных равенств. Слева получится сумма всех треугольных чисел от первого до n-го, т. е. количество ядер в пирамиде. При сложении же выражений в правой части уничтожатся все слагаемые, кроме (n3+3n2+2n)/6. Следовательно, пирамида сложена из (n3+3n2+2n)/6 (n(n+1)(n+2))/6 ядер.

Например, если выкладывать основание пирамиды в виде равностороннего треугольника со стороной в 8 ядер, то пирамида будет состоять из 120 ядер.

5. Одним мешком – два мешка.

Как можно одним мешком пшеницы, смоловши её, наполнить 2 мешка, которые столь же велики, как и мешок, в котором находится пшеница?

Решение. Надо один из пустых мешков вложить в другой такой же, а затем в него насыпать смолотую пшеницу.

6. Много ли гвоздей найдут?

Двое пошли – 3 гвоздя нашли.

Следом четверо пойдут – много ли гвоздей найдут? 

Решение. Скорее всего ничего не найдут.

7. Рыцари и оруженосцы.

Три рыцаря, каждый в сопровождении оруженосца, съехались на берегу реки и хотят переправиться на другой берег. Есть лодка, которая может вместить только двух человек. Могут ли переправиться рыцари и их оруженосцы на другой берег при условии, что оказавшись отдельно от своего рыцаря, ни один оруженосец не находился бы при этом в обществе других рыцарей?

Решение. Вначале переправляются два оруженосца. Затем один из оруженосцев возвращается и перевозит на другой берег третьего оруженосца. После этого один из трёх оруженосцев возвращается к своему рыцарю и с ним остаётся на первом берегу, два других рыцаря отправляются к своим оруженосцам. Затем один из рыцарей возвращается со своим оруженосцем, оставляет его, а с собой забирает рыцаря, оставшегося на этом берегу. Теперь оставшийся на другом берегу оруженосец переезжает и забирает с собой одного из двух оруженосцев, а следующим рейсом забирает последнего оруженосца.

8. Разделить квас поровну.

Восьмиведерный бочонок заполнен доверху квасом. Двое должны разделить квас поровну. Но у них есть только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить квас, пользуясь только этими тремя бочонками?

Решение. Бочонки: 8 ведер; 5 ведер; 3 ведра.

До переливания: 8; 0; 0.

После 1-го переливания: 3; 5; 0.

После 2-го переливания: 3; 2; 3.

После 3-го переливания: 6; 2; 0.

После 4-го переливания: 6; 0; 2.

После 5-го переливания: 1; 5; 2.

После 6-го переливания: 1; 4; 3.

После 7-го переливания: 4; 4; 0.

Фото - Галины Бусаровой